ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57529
Темы:    [ Экстремальные свойства треугольника (прочее) ]
[ Площадь треугольника (через высоту и основание) ]
[ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Какую наименьшую ширину должна иметь бесконечная полоса бумаги, из которой можно вырезать любой треугольник площадью 1?

Решение

Так как площадь правильного треугольника со стороной a равна a2$ \sqrt{3}$/4, сторона правильного треугольника площадью 1 равна 2/$ \sqrt[4]{3}$, а его высота  $ \sqrt[4]{3}$. Докажем, что из полосы шириной меньше  $ \sqrt[4]{3}$ нельзя вырезать правильный треугольник площадью 1. Пусть правильный треугольник ABC лежит внутри полосы шириной меньше  $ \sqrt[4]{3}$. Пусть для определенности проекция вершины B на границу полосы лежит между проекциями вершин A и C. Тогда прямая, проведенная через точку B перпендикулярно границе полосы, пересекает отрезок AC в некоторой точке M. Высота треугольника ABC не превосходит BM, а BM не больше ширины полосы, поэтому высота треугольника ABC меньше  $ \sqrt[4]{3}$, т. е. его площадь меньше 1.
Остается доказать, что из полосы шириной  $ \sqrt[4]{3}$ можно вырезать любой треугольник площадью 1. Докажем, что у любого треугольника площадью 1 есть высота, не превосходящая  $ \sqrt[4]{3}$. Для этого достаточно доказать, что у него есть сторона не меньше 2/$ \sqrt[4]{3}$. Предположим, что все стороны треугольника ABC меньше 2/$ \sqrt[4]{3}$. Пусть $ \alpha$ — наименьший угол этого треугольника. Тогда $ \alpha$$ \le$60o и SABC = (AB . AC sin$ \alpha$)/2 < (2/$ \sqrt[4]{3}$)2($ \sqrt{3}$/4) = 1. Получено противоречие. Треугольник, у которого есть высота, не превосходящая  $ \sqrt[4]{3}$, можно поместить в полосу шириной  $ \sqrt[4]{3}$, положив сторону, на которую опущена эта высота, на сторону полосы.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 11
Название Задачи на максимум и минимум
Тема Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум.
параграф
Номер 1
Название Треугольник
Тема Экстремальные свойства треугольника (прочее)
задача
Номер 11.009

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .