ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57538
Темы:    [ Экстремальные точки треугольника ]
[ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
[ Неравенство Коши ]
[ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]
[ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Внутри треугольника ABC взята точка O. Пусть da, db, dc – расстояния от нее до прямых BC, CA, AB.
При каком положении точки O произведение dadbdc будет наибольшим?


Решение

  Ясно, что  2SABC = ada + bdb + cdc.  Поэтому произведение  (ada)(bdb)(cdc)  будет наибольшим, когда  ada = bdb = cdc  (по неравенству Коши).
  Равенство  ada = bdb = cdc  означает, что треугольники BOC, AOC и AOB равновелики, то есть что O – точка пересечения медиан треугольника ABC (см. задачу 115612).

Ответ

Когда O – точка пересечения медиан треугольника ABC.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 11
Название Задачи на максимум и минимум
Тема Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум.
параграф
Номер 2
Название Экстремальные точки треугольника
Тема Экстремальные точки треугольника
задача
Номер 11.018

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .