Информация о задаче

Задача 57539

Тема:

[

Экстремальные точки треугольника

]

Сложность: 4+
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Точки A₁, B₁ и C₁ взяты на сторонах BC, CA и AB треугольника ABC, причем отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке M. При каком положении точки M величина ${\frac{MA_1}{AA_1}}$ ^. ${\frac{MB_1}{BB_1}}$ ^. ${\frac{MC_1}{CC_1}}$ максимальна?

Решение

Пусть $\alpha$ = MA₁/AA₁, $\beta$ = MB₁/BB₁ и $\gamma$ = MC₁/CC₁. Так как $\alpha$ + $\beta$ + $\gamma$ = 1 (см. задачу 4.48, а)), то $\sqrt[3]{\alpha \beta \gamma }$ $\le$ ( $\alpha$ + $\beta$ + $\gamma$ )/3 = 1/3, причем равенство достигается, когда $\alpha$ = $\beta$ = $\gamma$ = 1/3, т. е. M — точка пересечения медиан.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	11
Название	Задачи на максимум и минимум
Тема	Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум.
параграф
Номер	2
Название	Экстремальные точки треугольника
Тема	Экстремальные точки треугольника
задача
Номер	11.019