Задача 57540

Темы:    [ Экстремальные точки треугольника ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Площадь треугольника (через высоту и основание) ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Условие

Из точки M, лежащей внутри данного треугольника ABC, опущены перпендикуляры MA₁, MB₁, MC₁ на прямые BC, CA, AB. Для каких точек M внутри данного треугольника ABC величина     принимает наименьшее значение?

Решение

Пусть x = MA₁,  y = MB₁  и  z = MC₁.  Тогда   ax + by + cz = 2S_BMC + 2S_AMC + 2S_AMB = 2S_ABC.  Поэтому

       

причём равенство достигается, только когда  x = y = z,  то есть когда M – центр вписанной окружности треугольника ABC.

Ответ

M – центр вписанной окружности треугольника ABC.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	11
Название	Задачи на максимум и минимум
Тема	Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум.
параграф
Номер	2
Название	Экстремальные точки треугольника
Тема	Экстремальные точки треугольника
задача
Номер	11.020