ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57541
Темы:    [ Экстремальные точки треугольника ]
[ Точка Торричелли ]
[ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
[ Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников ]
Сложность: 6
Классы: 8,9,10
Название задачи: Точка Торричелли.
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник ABC. Найдите внутри его точку O, для которой сумма длин отрезков OA, OB, OC минимальна. (Обратите внимание на тот случай, когда один из углов треугольника больше 120o.)

Решение

Предположим сначала, что все углы треугольника ABC меньше 120o. Тогда внутри его существует точка O, из которой все стороны видны под углом 120o. Проведем через вершины A, B и C прямые, перпендикулярные отрезкам OA, OB и OC. Эти прямые образуют правильный треугольник A1B1C1 (рис.). Пусть O' — любая точка, лежащая внутри треугольника ABC и отличная от точки O. Докажем, что тогда O'A + O'B + O'C > OA + OB + OC, т. е. O — искомая точка. Пусть A', B' и C' — основания перпендикуляров, опущенных из точки O' на стороны B1C1, C1A1 и A1B1, a — длина стороны правильного треугольника A1B1C1. Тогда O'A' + O'B' + O'C' = 2(SO'B1C1 + SO'A1B1 + SO'A1C1)/a = 2SA1B1C1/a = OA + OB + OC. Так как наклонная длиннее перпендикуляра, то O'A + OB + O'C > O'A' + O'B' + O'C' = OA + OB + OC.


Пусть теперь один из углов треугольника ABC, например угол C, больше или равен 120o. Проведем через точки A и B перпендикуляры B1C1 и C1A1 к отрезкам CA и CB, а через точку C — прямую A1B1, перпендикулярную биссектрисе угла ACB (рис.). Так как $ \angle$AC1B = 180o - $ \angle$ACB < 60o, то B1C1 > A1B1. Пусть O' — любая точка, лежащая внутри треугольника A1B1C1. Поскольку B1C1 . O'A' + C1A1 . O'B' + A1B1 . O'C' = 2SA1B1C1, то (O'A'+O'B'+O'C') . B1C1 = 2SA1B1C1 + (B1C1 - A1B1) . O'C'. Так как B1C1 > A1B1, то сумма O'A' + O'B' + O'C' минимальна для точек, лежащих на стороне B1A1. Ясно также, что O'A + O'B + O'C$ \ge$O'A' + O'B' + O'C'. Следовательно, искомой точкой является вершина C.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 11
Название Задачи на максимум и минимум
Тема Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум.
параграф
Номер 2
Название Экстремальные точки треугольника
Тема Экстремальные точки треугольника
задача
Номер 11.021

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .