ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57600
Тема:    [ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ]
Сложность: 2+
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что:
а)  rp = ra(p - a), rra = (p - b)(p - c) и  rbrc = p(p - a);
б)  S2 = p(p - a)(p - b)(p - c)     (формула Герона);
в)  S2 = rrarbrc.

Решение

а) Согласно задаче 12.17 p = ractg($ \alpha$/2) и rctg($ \alpha$/2) = p - a; rctg($ \beta$/2) = p - b и ratg($ \beta$/2) = p - c; rctg($ \beta$/2) = p - a и  rbctg($ \beta$/2) = p. Перемножая эти пары равенств, получаем требуемое.
б) Перемножая равенства rp = ra(p - a) и rra = (p - b)(p - c), получаем r2p = (p-a)(p-b)(p-c). Ясно также, что S2 = p(r2p).
в) Достаточно перемножить равенства rra = (p - b)(p - c) и rbrc = p(p - a) и воспользоваться формулой Герона.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 12
Название Вычисления и метрические соотношения
Тема Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников. Решение треугольников.
параграф
Номер 3
Название Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы
Тема Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы
задача
Номер 12.018

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .