ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57621
Тема:    [ Синусы и косинусы углов треугольника ]
Сложность: 2+
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
cos$ \alpha$ + cos$ \beta$ + cos$ \gamma$ = (R + r)/R.

Решение

Складывая равенства  cos$ \alpha$ + cos$ \beta$ = 2 cos(($ \alpha$ + $ \beta$)/2)cos(($ \alpha$ - $ \beta$)/2) и  cos$ \gamma$ = - cos($ \alpha$ + $ \beta$) = - 2 cos2(($ \alpha$ + $ \beta$)/2) + 1 и учитывая, что cos(($ \alpha$-$ \beta$)/2) - cos(($ \alpha$+$ \beta$)/2) = 2 sin($ \alpha$/2)sin($ \beta$/2), получаем  cos$ \alpha$ + cos$ \beta$ + cos$ \gamma$ = 4 sin($ \alpha$/2)×sin($ \beta$/2)sin($ \gamma$/2) + 1 = $ {\frac{r}{R}}$ + 1 (см. задачу 12.36, а)).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 12
Название Вычисления и метрические соотношения
Тема Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников. Решение треугольников.
параграф
Номер 5
Название Синусы и косинусы углов треугольника
Тема Синусы и косинусы углов треугольника
задача
Номер 12.038

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .