ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57628
Тема:    [ Тангенсы и котангенсы углов треугольника ]
Сложность: 3
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
а)  ctg($ \alpha$/2) + ctg($ \beta$/2) + ctg($ \gamma$/2) = p/r;
б)  tg($ \alpha$/2) + tg($ \beta$/2) + tg($ \gamma$/2) = $ \left(\vphantom{\frac{a}{r_a}+\frac{b}{r_b}+\frac{c}{r_c}}\right.$$ {\frac{a}{r_a}}$ + $ {\frac{b}{r_b}}$ + $ {\frac{c}{r_c}}$$ \left.\vphantom{\frac{a}{r_a}+\frac{b}{r_b}+\frac{c}{r_c}}\right)$/2.

Решение

Согласно задаче 12.17  ctg($ \alpha$/2) + ctg($ \beta$/2) = c/r и  tg($ \alpha$/2) + tg($ \beta$/2) = c/rc. Остается сложить такие равенства для всех пар углов треугольника.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 12
Название Вычисления и метрические соотношения
Тема Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников. Решение треугольников.
параграф
Номер 6
Название Тангенсы и котангенсы углов треугольника
Тема Тангенсы и котангенсы углов треугольника
задача
Номер 12.045

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .