ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57681
Темы:    [ Векторы сторон многоугольников ]
[ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) Докажите, что из медиан треугольника можно составить треугольник.
б) Из медиан треугольника ABC составлен треугольник A1B1C1, а из медиан треугольника A1B1C1 составлен треугольник A2B2C2. Докажите, что треугольники ABC и A2B2C2 подобны, причем коэффициент подобия равен 3/4.

Решение

а) Пусть a = $ \overrightarrow{BC}$, b = $ \overrightarrow{CA}$ и  c = $ \overrightarrow{AB}$; AA', BB' и CC' — медианы треугольника ABC. Тогда $ \overrightarrow{AA'}$ = (c - b)/2, $ \overrightarrow{BB'}$ = (a - c)/2 и  $ \overrightarrow{CC'}$ = (b - a)/2. Поэтому $ \overrightarrow{AA'}$ + $ \overrightarrow{BB'}$ + $ \overrightarrow{CC'}$ = $ \overrightarrow{0}$.
б) Пусть a1 = $ \overrightarrow{AA'}$, b1 = $ \overrightarrow{BB'}$ и  c1 = $ \overrightarrow{CC'}$. Тогда (c1 - b1)/2 = (b - a - a + c)/4 = - 3a/4 — вектор стороны треугольника A2B2C2.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 13
Название Векторы
Тема Векторы
параграф
Номер 1
Название Векторы сторон многоугольников
Тема Векторы сторон многоугольников
задача
Номер 13.001

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .