ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57689
Тема:    [ Векторы сторон многоугольников ]
Сложность: 6
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Даны четыре попарно непараллельных вектора  a, b, c и  d, сумма которых равна нулю. Докажите, что

|a| + |b| + |c| + |d| > |a + b| + |a + c| + |a + d|.



Решение

Согласно задаче 13.8, б) из данных векторов можно составить самопересекающуюся четырехзвенную ломаную; ее можно представить как две диагонали и две противоположные стороны выпуклого четырехугольника. Возможны два случая: вектор  a может быть как стороной, так и диагональю этого четырехугольника. Но в обоих случаях сумма в левой части неравенства представляет собой сумму длин двух противоположных сторон и двух диагоналей четырехугольника, а в сумму в правой части входит длина суммы векторов тех же самых противоположных сторон и длины двух других противоположных сторон. Остается заметить, что сумма длин двух векторов не меньше длины их суммы, а сумма длин диагоналей выпуклого четырехугольника больше суммы длин двух противоположных сторон (см. задачу 9.14).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 13
Название Векторы
Тема Векторы
параграф
Номер 1
Название Векторы сторон многоугольников
Тема Векторы сторон многоугольников
задача
Номер 13.009

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .