ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57691
Тема:    [ Скалярное произведение. Соотношения ]
Сложность: 3
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если диагонали четырехугольника ABCD перпендикулярны, то и диагонали любого другого четырехугольника с такими же длинами сторон перпендикулярны.

Решение

Пусть a = $ \overrightarrow{AB}$, b = $ \overrightarrow{BC}$, c = $ \overrightarrow{CD}$ и  d = $ \overrightarrow{DA}$. Достаточно проверить, что AC $ \perp$ BD тогда и только тогда, когда a2 + c2 = b2 + d2. Ясно, что d2 = |a+b+c|2 = a2 + b2 + c2 + 2[(a,b) + (b,c) + (c,a)]. Поэтому условие AC $ \perp$ BD, т. е. 0 = (a+b,b+c) = b2 + (b,c) + (a,c) + (a,b), эквивалентно тому, что d2 = a2 + b2 + c2 - 2b2.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 13
Название Векторы
Тема Векторы
параграф
Номер 2
Название Скалярное произведение. Соотношения
Тема Скалярное произведение. Соотношения
задача
Номер 13.011

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .