ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57693
Тема:    [ Скалярное произведение. Соотношения ]
Сложность: 4
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC, а точка H обладает тем свойством, что $ \overrightarrow{OH}$ = $ \overrightarrow{OA}$ + $ \overrightarrow{OB}$ + $ \overrightarrow{OC}$. Докажите, что H — точка пересечения высот треугольника ABC.

Решение

Докажем, что AH $ \perp$ BC. $ \overrightarrow{AH}$ = $ \overrightarrow{AO}$ + $ \overrightarrow{OH}$ = $ \overrightarrow{AO}$ + $ \overrightarrow{OA}$ + $ \overrightarrow{OB}$ + $ \overrightarrow{OC}$ = $ \overrightarrow{OB}$ + $ \overrightarrow{OC}$ и  $ \overrightarrow{BC}$ = $ \overrightarrow{BO}$ + $ \overrightarrow{OC}$ = - $ \overrightarrow{OB}$ + $ \overrightarrow{OC}$, поэтому ($ \overrightarrow{AH}$,$ \overrightarrow{BC}$) = OC2 - OB2 = R2 - R2 = 0, так как O — центр описанной окружности. Аналогично доказывается, что BH $ \perp$ AC и  CH $ \perp$ AB.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 13
Название Векторы
Тема Векторы
параграф
Номер 2
Название Скалярное произведение. Соотношения
Тема Скалярное произведение. Соотношения
задача
Номер 13.013

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .