ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57694
Тема:    [ Скалярное произведение. Соотношения ]
Сложность: 4
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что OH2 = R2(1 - 8 cos$ \alpha$cos$ \beta$cos$ \gamma$).

Решение

Ясно, что

OH2 = |$\displaystyle \overrightarrow{OA}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OB}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OC}$|2 =    
  = 3R2 + 2R2(cos 2$\displaystyle \alpha$ + cos 2$\displaystyle \beta$ + cos 2$\displaystyle \gamma$) =    
  = 3R2 + 4R2(cos2$\displaystyle \alpha$ + cos2$\displaystyle \beta$ + cos2$\displaystyle \gamma$) - 6R2.    

Остается заметить, что cos2$ \alpha$ + cos2$ \beta$ + cos2$ \gamma$ = 1 - 2 cos$ \alpha$cos$ \beta$cos$ \gamma$ согласно задаче 12.39 б).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 13
Название Векторы
Тема Векторы
параграф
Номер 2
Название Скалярное произведение. Соотношения
Тема Скалярное произведение. Соотношения
задача
Номер 13.013B

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .