ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57695
Тема:    [ Скалярное произведение. Соотношения ]
Сложность: 4
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть A1...An — правильный n-угольник, X — произвольная точка. Рассмотрим проекции X1, ..., Xn точки X на прямые A1A2, ..., AnA1. Пусть xi — длина отрезка AiXi с учётом знака (знак плюс берётся в случае, когда лучи AiXi и AiAi + 1 сонаправлены). Докажите, что сумма x1 + ... + xn равна половине периметра многоугольника A1...An.

Решение

Достаточно рассмотреть случай, когда длины сторон многоугольника A1...An равны 1. В этом случае xi = ($ \overrightarrow{A_iX}$,$ \overrightarrow{A_iA_{i+1}}$). Пусть O — центр правильного многоугольника A1...An. Тогда

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}$xi = $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}$($\displaystyle \overrightarrow{A_iO}$,$\displaystyle \overrightarrow{A_iA_{i+1}}$) + $\displaystyle \left(\vphantom{\overrightarrow{OX},\sum_{i=1}^n\overrightarrow{A_iA_{i+1}}}\right.$$\displaystyle \overrightarrow{OX}$,$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}$$\displaystyle \overrightarrow{A_iA_{i+1}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\overrightarrow{OX},\sum_{i=1}^n\overrightarrow{A_iA_{i+1}}}\right)$ =    
  = $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}$($\displaystyle \overrightarrow{A_iO}$,$\displaystyle \overrightarrow{A_iA_{i+1}}$),    

поскольку $ \sum_{i=1}^{n}$$ \overrightarrow{A_iA_{i+1}}$ = $ \overrightarrow{0}$ для любого многоугольника. Остаётся заметить, что ($ \overrightarrow{A_iO}$,$ \overrightarrow{A_iA_{i+1}}$) = 1/2 для всех i.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 13
Название Векторы
Тема Векторы
параграф
Номер 2
Название Скалярное произведение. Соотношения
Тема Скалярное произведение. Соотношения
задача
Номер 13.013B1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .