Задача 57725

Тема:    [ Метод усреднения ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10

Условие

Докажите, что если длины всех сторон и диагоналей выпуклого многоугольника меньше d, то его периметр меньше d.

Решение

Обозначим проекцию многоугольника на прямую l через AB. Ясно, что точки A и B являются проекциями некоторых вершин A₁ и B₁ многоугольника. Поэтому A₁B₁AB, т. е. длина проекции многоугольника не больше A₁B₁, a A₁B₁ < d по условию. Так как сумма длин проекций сторон многоугольника на прямую l равна 2AB, она не превосходит 2d.
Среднее значение суммы длин проекций сторон равно 2P/, где P — периметр (см. задачу 13.39). Среднее значение не превосходит максимального, следовательно, 2P/ < 2d, т. е. P < d.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	13
Название	Векторы
Тема	Векторы
параграф
Номер	6
Название	Метод усреднения
Тема	Метод усреднения
задача
Номер	13.042