Информация о задаче

Задача 57726

Тема:

[

Метод усреднения

]

Сложность: 6
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

На плоскости даны четыре вектора a, b, c и d, сумма которых равна нулю. Докажите, что

|a| + |b| + |c| + |d| $\displaystyle \ge$ |a + d| + |b + d| + |c + d|.

Решение

Согласно задаче 13.39 неравенство |a| + |b| + |c| + |d| $\ge$ |a + d| + |b + d| + |c + d| достаточно доказать для проекций векторов на прямую, т. е. можно считать, что a, b, c и d — векторы, параллельные одной прямой, т. е. просто числа, причем a + b + c + d = 0. Будем считать, что d $\ge$ 0, так как иначе можно изменить знаки у всех чисел.
Можно считать, что a $\le$ b $\le$ c. Нужно разобрать три случая: 1) a, b, c $\le$ 0; 2) a $\le$ 0 и b, c $\ge$ 0 и 3) a, b $\le$ 0, c $\ge$ 0. Все возникающие неравенства проверяются достаточно просто. При разборе третьего случая нужно отдельно рассмотреть случаи | d| $\le$ | b|, | b| $\le$ | d| $\le$ | a| и | a| $\le$ | d| (в последнем случае нужно учесть, что | d| = | a| + | b| - | c| $\le$ | a| + | b|).

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	13
Название	Векторы
Тема	Векторы
параграф
Номер	6
Название	Метод усреднения
Тема	Метод усреднения
задача
Номер	13.043