ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57747
Тема:    [ Основные свойства центра масс ]
Сложность: 3
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) Докажите, что центр масс существует и единствен для любой системы точек.
б) Докажите, что если X — произвольная точка, а O — центр масс точек X1,..., Xn с массами m1,..., mn, то $ \overrightarrow{XO}$ = $ {\frac{1}{m_1+\ldots+m_n}}$(m1$ \overrightarrow{XX_1}$ +...+ mn$ \overrightarrow{XX_n}$).

Решение

Пусть X и O — произвольные точки. Тогда m1$ \overrightarrow{OX_1}$ +...+ mn$ \overrightarrow{OX_n}$ = (m1 +...+ mn)$ \overrightarrow{OX}$ + m1$ \overrightarrow{XX_1}$ +...+ mn$ \overrightarrow{XX_n}$, поэтому точка O является центром масс данной системы точек тогда и только тогда, когда

(m1 +...+ mn)$\displaystyle \overrightarrow{OX}$ + m1$\displaystyle \overrightarrow{XX_1}$ +...+ mn$\displaystyle \overrightarrow{XX_n}$ = $\displaystyle \overrightarrow{0}$,

т. е. $ \overrightarrow{XO}$ = $ {\frac{1}{m_1+\ldots+m_n}}$ (m1$ \overrightarrow{XX_1}$ +...+ mn$ \overrightarrow{XX_n}$). Из этого рассуждения вытекают решения обеих задач.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 14
Название Центр масс
Тема Центр масс
параграф
Номер 1
Название Основные свойства центра масс
Тема Основные свойства центра масс
задача
Номер 14.001

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .