Информация о задаче

Задача 57766

Тема:

[

Момент инерции

]

Сложность: 3
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

а) Докажите, что момент инерции относительно центра масс системы точек с единичными массами равен ${\frac{1}{n}}$ $\sum\limits_{i<j}^{}$ a_ij², где n — число точек, a_ij — расстояние между точками с номерами i и j.
б) Докажите, что момент инерции относительно центра масс системы точек с массами m₁,..., m_n, равен ${\frac{1}{m}}$ $\sum\limits_{i<j}^{}$ m_im_ja_ij², где m = m₁ +...+ m_n, a_ij — расстояние между точками с номерами i и j.

Решение

а) Пусть x_i — вектор с началом в центре масс O и концом в точке с номером i. Тогда $\sum\limits_{i,j}^{}$ (x_i - x_j)² = $\sum\limits_{i,j}^{}$ (x_i² + x_j²) - 2 $\sum\limits_{i,j}^{}$ (x_i,x_j), где суммирование ведется по всем возможным парам номеров точек. Ясно, что $\sum\limits_{i,j}^{}$ (x_i² + x_j²) = 2n $\sum\limits_{i}^{}$ x_i² = 2nI_O и $\sum\limits_{i,j}^{}$ (x_i,x_j) = $\sum\limits_{i}^{}$ (x_i, $\sum\limits_{j}^{}$ x_j) = 0. Поэтому 2nI_O = $\sum\limits_{i,j}^{}$ (x_i - x_j)² = 2 $\sum\limits_{i<j}^{}$ a_ij².
б) Пусть x_i — вектор с началом в центре масс O и концом в точке с номером i. Тогда $\sum\limits_{i,j}^{}$ m_im_j(x_i - x_j)² = $\sum\limits_{i,j}^{}$ m_im_j(x_i² + x_j²) - 2 $\sum\limits_{i,j}^{}$ m_im_j(x_i,x_j). Ясно, что $\sum\limits_{i,j}^{}$ m_im_j(x_i² + x_j²) = $\sum\limits_{i}^{}$ m_i $\sum\limits_{j}^{}$ (m_jx_i² + m_jx_j²) = $\sum\limits_{i}^{}$ m_i(mx_i² + I_O) = 2mI_O и $\sum\limits_{i,j}^{}$ m_im_j(x_i,x_j) = $\sum\limits_{i}^{}$ m_i(x_i, $\sum\limits_{j}^{}$ m_jx_j) = 0. Поэтому 2mI_O = $\sum\limits_{i,j}^{}$ m_im_j(x_i - x_j)² = 2 $\sum\limits_{i<j}^{}$ m_im_ja_ij².

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	14
Название	Центр масс
Тема	Центр масс
параграф
Номер	3
Название	Момент инерции
Тема	Момент инерции
задача
Номер	14.018