Задача 57767

Тема:    [ Момент инерции ]

Сложность: 4 Классы: 9

Условие

а) Треугольник ABC правильный. Найдите геометрическое место таких точек X, что AX² = BX² + CX².
б) Докажите, что для точек указанного ГМТ подерный треугольник относительно треугольника ABC прямоугольный.

Решение

а) Пусть M — точка, симметричная точке A относительно прямой BC. Тогда M — центр масс точек A, B и C с массами -1, 1 и 1, а значит, - AX² + BX² + CX² = I_X = I_M + (- 1 + 1 + 1)MX² = (- 3 + 1 + 1)a² + MX², где a — сторона треугольника ABC. В итоге получаем, что искомое ГМТ является окружностью радиуса a с центром M.
б) Пусть A', B' и C' — проекции точки X на прямые BC, CA и AB. Точки B' и C' лежат на окружности с диаметром AX, поэтому B'C' = AX sin B'AC' = AX/2. Аналогично C'A' = BX/2 и  A'B' = CX/2. Следовательно, если AX² = BX² + CX², то B'A'C' = 90^o.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	14
Название	Центр масс
Тема	Центр масс
параграф
Номер	3
Название	Момент инерции
Тема	Момент инерции
задача
Номер	14.019