Задача 57769

Тема:    [ Момент инерции ]

Сложность: 4 Классы: 9

Условие

Хорды AA₁, BB₁ и CC₁ окружности с центром O пересекаются в точке X. Докажите, что (AX/XA₁) + (BX/XB₁) + (CX/XC₁) = 3 тогда и только тогда, когда точка X лежит на окружности с диаметром OM, где M — центр масс треугольника ABC.

Решение

Ясно, что AX/XA₁ = AX²/AX ^. XA₁ = AX²/(R² - OX²). Поэтому нужно проверить, что AX² + BX² + CX² = 3(R² - OX²) тогда и только тогда, когда OM² = OX² + MX². Для этого достаточно заметить, что AX² + BX² + CX² = I_X = I_M + 3MX² = I_O - 3MO² + 3MX² = 3(R² - MO² + MX²).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	14
Название	Центр масс
Тема	Центр масс
параграф
Номер	3
Название	Момент инерции
Тема	Момент инерции
задача
Номер	14.021