ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57812
Тема:    [ Перенос помогает решить задачу ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник ABC. Точка M, расположенная внутри треугольника, движется параллельно стороне BC до пересечения со стороной CA, затем параллельно AB до пересечения с BC, затем параллельно AC до пересечения с AB и т. д. Докажите, что через некоторое число шагов траектория движения точки замкнется.

Решение

Обозначим последовательные точки траектории на сторонах треугольника через A1, B1, B2, C2, C3, A3, A4 B4,... (рис.). Так как A1B1| AB2, B1B2| CA1 и  B1C| B2C2, то треугольник AB2C2 получается из треугольника A1B1C параллельным переносом. Аналогично треугольник A3BC3 получен параллельным переносом из треугольника AB2C2, а треугольник A4B4C — из треугольника A3BC3. Но треугольник A1B1C тоже получен из треугольника A3BC3 параллельным переносом. Поэтому A1 = A4, т. е. после семи шагов траектория замкнется (возможно, что она замкнется и раньше).


Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 7
Год 1941
вариант
Класс 7,8
Тур 2
задача
Номер 3
книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 15
Название Параллельный перенос
Тема Параллельный перенос
параграф
Номер 1
Название Перенос помогает решить задачу
Тема Перенос помогает решить задачу
задача
Номер 15.002

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .