ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57824
Темы:    [ Параллельный перенос. Построения и геометрические места точек ]
[ Перенос помогает решить задачу ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) Даны окружности S1 и S2, пересекающиеся в точках A и B. Проведите через точку A прямую l так, чтобы отрезок этой прямой, заключенный внутри окружностей S1 и S2, имел данную длину.
б) Впишите в данный треугольник ABC треугольник, равный данному треугольнику PQR.

Решение

а) Проведем через точку A прямую PQ (P лежит на окружности S1, Q — на окружности S2). Опустим из центров O1 и O2 окружностей S1 и S2 перпендикуляры O1M и O2N на прямую PQ. Перенесем отрезок MN параллельно на вектор $ \overrightarrow{MO_1}$. Пусть C — образ точки N при этом переносе.
Треугольник O1CO2 прямоугольный и  O1C = MN = PQ/2. Следовательно, чтобы построить прямую PQ, для которой PQ = a, нужно построить треугольник O1CO2 с заданной гипотенузой O1O2 и катетом O1C = a/2, а затем провести через точку A прямую, параллельную O1C.
б) Достаточно решить обратную задачу: описать вокруг данного треугольника PQR треугольник, равный данному треугольнику ABC. Предположим, что мы построили треугольник ABC, стороны которого проходят через данные точки P, Q и R. Построим дуги окружностей, из которых отрезки RP и QP видны под углами A и B соответственно. Точки A и B лежат на этих дугах, причем длина отрезка AB известна. Согласно задаче а) можно построить прямую AP, проходящую через точку P, отрезок которой, заключенный внутри окружностей S1 и S2, имеет данную длину. Проводя прямые AR и BQ, получаем треугольник ABC, равный данному треугольнику, так как у этих треугольников по построению равны сторона и прилегающие к ней углы.


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 15
Название Параллельный перенос
Тема Параллельный перенос
параграф
Номер 2
Название Построения и геометрические места точек
Тема Параллельный перенос. Построения и геометрические места точек
задача
Номер 15.012

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .