Задача 57935

Тема:    [ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ]

Сложность: 4 Классы: 9

Условие

Пусть M и N — середины сторон CD и DE правильного шестиугольника ABCDEF, P — точка пересечения отрезков AM и BN.
а) Найдите величину угла между прямыми AM и BN.
б) Докажите, что S_ABP = S_MDNP.

Решение

При повороте на 60^o относительно центра данного шестиугольника, переводящем вершину A в B, отрезок CD переходит в DE, поэтому точка M переходит в N. Таким образом, при этом повороте отрезок AM переходит в BN, т. е. угол между этими отрезками равен 60^o. Кроме того, при этом повороте пятиугольник AMDEF переходит в BNEFA, т. е. их площади равны. Вырезая из этих равновеликих пятиугольников их общую часть, пятиугольник APNEF, получаем две равновеликие фигуры: треугольник ABP и четырехугольник MDNP.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	18
Название	Поворот
Тема	Поворот
параграф
Номер	2
Название	Поворот на 60 градусов
Тема	Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$
задача
Номер	18.016