ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57954
Тема:    [ Поворот (прочее) ]
Сложность: 7
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

По арене цирка, являющейся кругом радиуса 10 м, бегает лев. Двигаясь по ломаной линии, он пробежал 30 км. Докажите, что сумма всех углов его поворотов не меньше 2998 радиан.

Решение

Предположим, что лев бежал по ломаной A1A2...An. Распрямим траекторию движения льва следующим образом. Повернем относительно точки A2 арену цирка и дальнейшую траекторию так, чтобы точка A3 попала на луч A1A2. Затем повернем относительно точки A3 арену цирка и дальнейшую траекторию так, чтобы точка A4 попала на луч A1A2 и т. д. Центр O арены цирка переходит при этом последовательно в точки O1 = O, O2,..., On - 1; точки A1,..., An переходят в точки A1',..., An', лежащие на одной прямой (рис.).
Пусть  $ \alpha_{i-1}^{}$ — угол поворота льва в точке Ai'. Тогда $ \angle$Oi - 1Ai'Oi = $ \alpha_{i-1}^{}$ и  Ai'Oi - 1 = Ai'Oi$ \le$10, поэтому OiOi - 1$ \le$10$ \alpha_{i-1}^{}$. Следовательно, 30 000 = A1'An'$ \le$A1'O1 + O1O2 +...+ On - 2On - 1 + On - 1An'$ \le$10 + 10($ \alpha_{1}^{}$ +...+ $ \alpha_{n-2}^{}$) + 10, т. е. $ \alpha_{1}^{}$ +...+ $ \alpha_{n-2}^{}$$ \ge$2998.


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 18
Название Поворот
Тема Поворот
параграф
Номер 3
Название Повороты на произвольные углы
Тема Поворот (прочее)
задача
Номер 18.032

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .