ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57960
Тема:    [ Композиции поворотов ]
Сложность: 5
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) На сторонах произвольного треугольника внешним образом построены правильные треугольники. Докажите, что их центры образуют правильный треугольник.
б) Докажите аналогичное утверждение для треугольников, построенных внутренним образом.
в) Докажите, что разность площадей правильных треугольников, полученных в задачах а) и б), равна площади исходного треугольника.

Решение

а) См. решение более общей задачи 18.42 (достаточно положить $ \alpha$ = $ \beta$ = $ \gamma$ = 120o). В случае б) доказательство аналогично.
в) Пусть Q и R (соответственно Q1 и R1) — центры правильных треугольников, построенных внешним (соответственно внутренним) образом на сторонах AC и AB. Так как AQ = b/$ \sqrt{3}$, AR = c/$ \sqrt{3}$ и  $ \angle$QAR = 60o + $ \alpha$, то 3QR2 = b2 + c2 - 2bc cos($ \alpha$ + 60o). Аналогично 3Q1R12 = b2 + c2 - 2bc cos($ \alpha$ - 60o). Поэтому разность площадей полученных правильных треугольников равна (QR2 - Q1R12)$ \sqrt{3}$/4 = bc sin$ \alpha$sin 60o/$ \sqrt{3}$ = SABC.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 18
Название Поворот
Тема Поворот
параграф
Номер 4
Название Композиции поворотов
Тема Композиции поворотов
задача
Номер 18.038

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .