Условие
Четыре пересекающиеся прямые образуют четыре
треугольника. Докажите, что четыре окружности, описанные
около этих треугольников, имеют одну общую точку.
Решение
Пусть прямые
AB и
DE пересекаются в точке
C, а прямые
BD и
AE — в точке
F. Центром поворотной гомотетии, переводящей
отрезок
AB в отрезок
ED, является точка пересечения описанных
окружностей треугольников
AEC и
BDC, отличная от точки
C
(см. задачу
19.41), а центром поворотной гомотетии, переводящей
AE
в
BD, — точка пересечения описанных окружностей треугольников
ABF и
EDF. Согласно задаче
19.44 центры этих поворотных
гомотетий совпадают, т. е. все четыре описанные окружности имеют
общую точку.
Источники и прецеденты использования
