Задача 58049

Тема:    [ Наименьший или наибольший угол ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Внутри круга радиуса 1 лежат восемь точек. Докажите, что расстояние между некоторыми двумя из них меньше 1.

Решение

По крайней мере семь точек отличны от центра O окружности. Поэтому наименьший из углов A_iOA_j, где A_i и A_j — данные точки, не превосходит 360^o/7 < 60^o. Если A и B — точки, соответствующие наименьшему углу, то AB < 1, так как AO1, BO1 и угол AOB не может быть наибольшим углом треугольника AOB.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	20
Название	Принцип крайнего
Тема	Принцип крайнего
параграф
Номер	1
Название	Наименьший или наибольший угол
Тема	Наименьший или наибольший угол
задача
Номер	20.004