ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58052
Тема:    [ Наименьший или наибольший угол ]
Сложность: 6
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) Длины биссектрис треугольника не превосходят 1. Докажите, что его площадь не превосходит 1/$ \sqrt{3}$.
б) На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C1. Докажите, что если длины отрезков AA1, BB1 и CC1 не превосходят 1, то площадь треугольника ABC не превосходит 1/$ \sqrt{3}$.

Решение

а) Пусть для определенности $ \alpha$ — наименьший угол треугольника ABC; AD — биссектриса. Одна из сторон AB и AC не превосходит AD/cos($ \alpha$/2), так как иначе отрезок BC не проходит через точку D. Пусть для определенности AB$ \le$AD/cos($ \alpha$/2)$ \le$AD/cos 30o$ \le$2/$ \sqrt{3}$. Тогда SABC = hcAB/2$ \le$lcAB/2$ \le$1/$ \sqrt{3}$.
б) Предположим сначала, что треугольник ABC не остроугольный, например, $ \angle$A$ \ge$90o. Тогда AB$ \le$BB1$ \le$1. Ясно также, что hc$ \le$CC1$ \le$1. Поэтому SABC$ \le$1/2 < 1/$ \sqrt{3}$.
Предположим теперь, что треугольник ABC остроугольный. Пусть $ \angle$A — наименьший из его углов. Тогда $ \angle$A$ \le$60o, поэтому высота ha делит угол A на два угла, один из которых не превосходит 30o. Если этот угол прилегает к стороне AB, то AB$ \le$ha/cos 30o$ \le$2/$ \sqrt{3}$. Учитывая, что hc$ \le$1, получаем требуемое.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 20
Название Принцип крайнего
Тема Принцип крайнего
параграф
Номер 1
Название Наименьший или наибольший угол
Тема Наименьший или наибольший угол
задача
Номер 20.007

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .