ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58078
Темы:    [ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Теорема Хелли ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На плоскости дано n точек, причем любые три из них можно накрыть кругом радиуса 1. Докажите, что тогда все n точек можно накрыть кругом радиуса 1.

Решение

Решение 1:

Рассмотрим круг, содержащий все данные точки. Будем уменьшать радиус такого круга до тех пор, пока это возможно. Пусть R — радиус полученного круга. На границе этого круга лежат по крайней мере две данные точки. Рассмотрим сначала случай, когда на границе лежат ровно две точки A и B. Ясно, что они -- диаметрально противоположные точки круга. Возьмём третью данную точку C. Минимальный радиус круга, содержащего точки A, B и C, равен R, поэтому R$ \le$1. Рассмотрим теперь случай, когда на границе лежат ровно три данные точки A, B и C. Тогда треугольник ABC остроугольный, поскольку иначе можно было бы уменьшить радиус круга, содержащего все данные точки. Поэтому снова минимальный радиус круга, содержащего точки A, B и C, равен R. Рассмотрим наконец случай, когда на границе лежат по крайней мере четыре данные точки. Пусть $ \alpha_{1}^{}$, $ \alpha_{2}^{}$, ..., $ \alpha_{n}^{}$ — угловые величины последовательных дуг, на которые данные точки разбивают границу круга. Если сумма угловых величин двух последовательных дуг не больше 180o, то сотрём их общую точку. Покажем, что при n$ \ge$4 такая пара последовательных дуг всегда найдётся. Предположим, что $ \alpha_{1}^{}$ + $ \alpha_{2}^{}$ > 180o, $ \alpha_{2}^{}$ + $ \alpha_{3}^{}$ > 180o, ..., $ \alpha_{n}^{}$ + $ \alpha_{1}^{}$ > 180o. Сложив эти неравенства, получим 2($ \alpha_{1}^{}$ + $ \alpha_{2}^{}$ + ... + $ \alpha_{n}^{}$) > n . 180o, а значит, 4 . 180o > n . 180o. Получено противоречие. Таким образом, на границе полученного круга лежат либо две диаметрально противоположные данные точки, либо три данные точки, являющиеся вершинами остроугольного треугольника. Такие случаи мы уже разбирали.
Решение 2:

Круг радиуса 1 с центром O накрывает некоторые точки тогда и только тогда, когда круги радиуса 1 с центрами в этих точках содержат точку O. Поэтому наша задача допускает следующую переформулировку: к На плоскости дано n точек, причем любые три круга радиуса 1 с центрами в этих точках имеют общую точку. Докажите, что все эти круги имеют общую точку. Это утверждение очевидным образом следует из теоремы Хелли.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 22
Название Выпуклые и невыпуклые многоугольники
Тема Выпуклые и невыпуклые фигуры
параграф
Номер 5
Название Теорема Хелли
Тема Теорема Хелли
задача
Номер 22.013
книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 20
Название Принцип крайнего
Тема Принцип крайнего
параграф
Номер 6
Название Разные задачи
Тема Принцип крайнего (прочее)
задача
Номер 20.030B

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .