Информация о задаче

Задача 58078

Темы:	[	Принцип крайнего (прочее)	]
Темы:	[	Теорема Хелли	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

На плоскости дано n точек, причем любые три из них можно накрыть кругом радиуса 1. Докажите, что тогда все n точек можно накрыть кругом радиуса 1.

Решение

Решение 1:

Рассмотрим круг, содержащий все данные точки. Будем уменьшать радиус такого круга до тех пор, пока это возможно. Пусть R — радиус полученного круга. На границе этого круга лежат по крайней мере две данные точки. Рассмотрим сначала случай, когда на границе лежат ровно две точки A и B. Ясно, что они -- диаметрально противоположные точки круга. Возьмём третью данную точку C. Минимальный радиус круга, содержащего точки A, B и C, равен R, поэтому R $\le$ 1. Рассмотрим теперь случай, когда на границе лежат ровно три данные точки A, B и C. Тогда треугольник ABC остроугольный, поскольку иначе можно было бы уменьшить радиус круга, содержащего все данные точки. Поэтому снова минимальный радиус круга, содержащего точки A, B и C, равен R. Рассмотрим наконец случай, когда на границе лежат по крайней мере четыре данные точки. Пусть $\alpha_{1}^{}$ , $\alpha_{2}^{}$ , ..., $\alpha_{n}^{}$ — угловые величины последовательных дуг, на которые данные точки разбивают границу круга. Если сумма угловых величин двух последовательных дуг не больше 180^o, то сотрём их общую точку. Покажем, что при n $\ge$ 4 такая пара последовательных дуг всегда найдётся. Предположим, что $\alpha_{1}^{}$ + $\alpha_{2}^{}$ > 180^o, $\alpha_{2}^{}$ + $\alpha_{3}^{}$ > 180^o, ..., $\alpha_{n}^{}$ + $\alpha_{1}^{}$ > 180^o. Сложив эти неравенства, получим 2( $\alpha_{1}^{}$ + $\alpha_{2}^{}$ + ... + $\alpha_{n}^{}$ ) > n^.180^o, а значит, 4^.180^o > n^.180^o. Получено противоречие. Таким образом, на границе полученного круга лежат либо две диаметрально противоположные данные точки, либо три данные точки, являющиеся вершинами остроугольного треугольника. Такие случаи мы уже разбирали.
Решение 2:

Круг радиуса 1 с центром O накрывает некоторые точки тогда и только тогда, когда круги радиуса 1 с центрами в этих точках содержат точку O. Поэтому наша задача допускает следующую переформулировку: к На плоскости дано n точек, причем любые три круга радиуса 1 с центрами в этих точках имеют общую точку. Докажите, что все эти круги имеют общую точку. Это утверждение очевидным образом следует из теоремы Хелли.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	22
Название	Выпуклые и невыпуклые многоугольники
Тема	Выпуклые и невыпуклые фигуры
параграф
Номер	5
Название	Теорема Хелли
Тема	Теорема Хелли
задача
Номер	22.013


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	20
Название	Принцип крайнего
Тема	Принцип крайнего
параграф
Номер	6
Название	Разные задачи
Тема	Принцип крайнего (прочее)
задача
Номер	20.030B