ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58114
Тема:    [ Выпуклые многоугольники ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Среди всех таких чисел n, что любой выпуклый 100-угольник можно представить в виде пересечения (т. е. общей части) n треугольников, найдите наименьшее.

Решение

Заметим сначала, что 50 треугольников достаточно. В самом деле, пусть $ \Delta_{k}^{}$ — треугольник, стороны которого лежат на лучах AkAk - 1 и  AkAk + 1 и который содержит выпуклый многоугольник A1...A100. Тогда этот многоугольник является пересечением треугольников $ \Delta_{2}^{}$, $ \Delta_{4}^{}$,..., $ \Delta_{100}^{}$. С другой стороны, 100-угольник, изображенный на рис., нельзя представить в виде пересечения менее чем 50 треугольников. В самом деле, если три его стороны лежат на сторонах одного треугольника, то одна из этих сторон — сторона A1A2. Все стороны этого многоугольника лежат на сторонах n треугольников, поэтому 2n + 1$ \ge$100, т. е. n$ \ge$50.


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 22
Название Выпуклые и невыпуклые многоугольники
Тема Выпуклые и невыпуклые фигуры
параграф
Номер 1
Название Выпуклые многоугольники
Тема Выпуклые многоугольники
задача
Номер 22.004

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .