ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58141
Тема:    [ Теорема Хелли ]
Сложность: 6
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) На плоскости даны четыре выпуклые фигуры, причем любые три из них имеют общую точку. Докажите, что тогда и все они имеют общую точку.
б) На плоскости дано n выпуклых фигур, причем любые три из них имеют общую точку. Докажите, что все n фигур имеют общую точку (теорема Хелли).

Решение

а) Обозначим данные фигуры через M1, M2, M3 и M4. Пусть Ai — точка пересечения всех фигур, кроме Mi. Возможны два варианта расположения точек Ai.
1. Одна из точек, например A4, лежит внутри треугольника, образованного остальными точками. Так как точки A1, A2, A3 принадлежат выпуклой фигуре M4, то и все точки треугольника A1A2A3 принадлежат M4. Поэтому точка A4 принадлежит M4, а остальным фигурам она принадлежит по своему определению.
2. A1A2A3A4 — выпуклый четырехугольник. Пусть C — точка пересечения диагоналей A1A3 и A2A4. Докажем, что точка C принадлежит всем данным фигурам. Обе точки A1 и A3 принадлежат фигурам M2 и M4, поэтому отрезок A1A3 принадлежит этим фигурам. Аналогично отрезок A2A4 принадлежит фигурам M1 и M3. Следовательно, точка пересечения отрезков A1A3 и A2A4 принадлежит всем данным фигурам.
б) Доказательство проведем индукцией по числу фигур. Для n = 4 утверждение доказано в предыдущей задаче. Докажем, что если утверждение верно для n$ \ge$4 фигур, то оно верно и для n + 1 фигуры. Пусть даны выпуклые фигуры $ \Phi_{1}^{}$,...,$ \Phi_{n}^{}$, $ \Phi_{n+1}^{}$, каждые три из которых имеют общую точку. Рассмотрим вместо них фигуры $ \Phi_{1}^{}$,...,$ \Phi_{n-1}^{}$, $ \Phi_{n}{^\prime}$, где $ \Phi_{n}{^\prime}$ является пересечением $ \Phi_{n}^{}$ и  $ \Phi_{n+1}^{}$. Ясно, что фигура $ \Phi_{n}{^\prime}$ тоже выпукла. Докажем, что любые три из новых фигур имеют общую точку. Сомнение в этом может возникнуть только для тройки фигур, содержащей $ \Phi_{n}{^\prime}$, но из предыдущей задачи следует, что фигуры $ \Phi_{i}^{}$, $ \Phi_{j}^{}$, $ \Phi_{n}^{}$ и  $ \Phi_{n+1}^{}$ всегда имеют общую точку. Следовательно, по предположению индукции $ \Phi_{1}^{}$,..., $ \Phi_{n-1}^{}$, $ \Phi_{n}{^\prime}$ имеют общую точку, т. е. $ \Phi_{1}^{}$,..., $ \Phi_{n}^{}$, $ \Phi_{n+1}^{}$ имеют общую точку.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 22
Название Выпуклые и невыпуклые многоугольники
Тема Выпуклые и невыпуклые фигуры
параграф
Номер 5
Название Теорема Хелли
Тема Теорема Хелли
задача
Номер 22.012

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .