ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58150
Темы:    [ Невыпуклые многоугольники ]
[ Наименьший или наибольший угол ]
[ Разные задачи на разрезания ]
Сложность: 5
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Хомодов А.

а) Докажите, что в любом многоугольнике, кроме треугольника, есть хотя бы одна диагональ, целиком лежащая внутри него.
б) Выясните, какое наименьшее число таких диагоналей может иметь n-угольник.

Решение

а) Если многоугольник выпуклый, то утверждение очевидно. Предположим теперь, что внутренний угол многоугольника при вершине A больше 180o. Видимая часть стороны видна из точки A под углом меньше 180o, поэтому из точки A видны части по крайней мере двух сторон. Следовательно, существуют лучи, выходящие из точки A, на которых происходит смена (частей) сторон, видимых из точки A (на рис. изображены все такие лучи). Каждый из этих лучей задает диагональ, целиком лежащую внутри многоугольника.
б) Из рис. видно, как построить n-угольник, у которого ровно n - 3 диагонали лежат внутри его. Остается доказать, что у любого n-угольника есть по крайней мере n - 3 диагонали. При n = 3 это утверждение очевидно. Предположим, что утверждение верно для всех k-угольников, где k < n, и докажем его для n-угольника. Согласно задаче а) n-угольник можно разрезать диагональю на два многоугольника: (k + 1)-угольник и (n - k + 1)-угольник, причем k + 1 < n и n - k + 1 < n. У них имеется соответственно по крайней мере (k + 1) - 3 и (n - k + 1) - 3 диагоналей, лежащих внутри. Поэтому у n-угольника имеется по крайней мере 1 + (k - 2) + (n - k - 2) = n - 3 диагоналей, лежащих внутри.


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 22
Название Выпуклые и невыпуклые многоугольники
Тема Выпуклые и невыпуклые фигуры
параграф
Номер 6
Название Невыпуклые многоугольники
Тема Невыпуклые многоугольники
задача
Номер 22.020
журнал
Название "Квант"
год
Год 1975
выпуск
Номер 12
Задача
Номер М358

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .