Условие
Окружность разбита точками на 3k дуг: по k дуг длины 1, 2 и 3. Докажите, что найдутся две диаметрально противоположные точки деления.
Решение
Предположим, что окружность разбита на дуги указанным образом, причём диаметрально противоположных точек деления нет. Поскольку против концов дуги длины 1 не лежат точки разбиения, то против неё лежит дуга длины 3. Выбросим одну из дуг длины 1 и противолежащую ей дугу
длины 3. При этом окружность разбивается на две дуги. Если на одной из них лежит m дуг длины 1 и n дуг длины 3, то на другой лежит m дуг длины 3 и n дуг длины 1. Общее количество дуг длины 1 и 3, лежащих на этих двух больших дугах, равно 2(k – 1), поэтому n + m = k – 1. Так как, кроме дуг длиной 1 и 3, есть дуги только чётной длины, то чётность длины каждой из двух рассматриваемых дуг совпадает с чётностью числа k – 1. С другой стороны, длина каждой из них равна ½ (6k – 1 – 3) = 3k – 2. Противоречие, так как числа k – 1 и 3k – 2 имеют разную чётность.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
книга |
|
Автор |
Прасолов В.В. |
|
Год издания |
2001 |
|
Название |
Задачи по планиметрии |
|
Издательство |
МЦНМО |
|
Издание |
4* |
|
глава |
|
Номер |
23 |
|
Название |
Делимость, инварианты, раскраски |
|
Тема |
Неопределено |
|
параграф |
|
Номер |
1 |
|
Название |
Чет и нечет |
|
Тема |
Четность и нечетность |
|
задача |
|
Номер |
23.005 |
