Задача 58181

Тема:    [ Шахматная раскраска ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

а) Можно ли замостить костями домино размером 1×2 шахматную доску размером 8×8, из которой вырезаны два противоположных угловых поля?
б) Докажите, что если из шахматной доски размером 8×8 вырезаны две произвольные клетки разного цвета, то оставшуюся часть доски всегда можно замостить костями домино размером 1×2.

Решение

а) Вырезаны поля одного цвета, пусть для определенности черного. Поэтому остается 32 белых и 30 черных клеток. Так как кость домино всегда накрывает одну белую и одну черную клетку, то костями домино нельзя замостить шахматную доску 8×8 клеток, из которой вырезаны два противоположных угловых поля.
б) Рис. показывает, что клетки шахматной доски можно обойти в циклическом порядке так, чтобы вернуться на то же самое место, с которого начинали обход. При этом полученный коридор можно замостить костями домино двумя разными способами, положив первую кость произвольно (на поворотах есть два способа положить кости домино).
При указанном обходе цвета клеток чередуются, поэтому если мы вырежем две клетки разного цвета, то наш цикл распадётся на два отрезка, состоящих из чётного числа клеток (если вырезаны две соседние клетки, то может получиться один отрезок). Каждый из этих отрезкв мы можем замостить очевидным образом.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	23
Название	Делимость, инварианты, раскраски
Тема	Неопределено
параграф
Номер	4
Название	Вспомогательные раскраски в шахматном порядке
Тема	Шахматная раскраска
задача
Номер	23.021