Задача 58215

Тема:    [ Теорема Минковского ]

Сложность: 6 Классы: 9,10 Название задачи: Теорема Минковского.

Условие

Начало координат является центром симметрии выпуклой фигуры площадью более 4. Докажите, что эта фигура содержит хотя бы одну точку с целыми координатами, отличную от начала координат.

Решение

Рассмотрим все выпуклые фигуры, получающиеся из данной переносами на векторы, обе координаты которых четны. Докажем, что хотя бы две из этих фигур пересекаются. Исходную фигуру можно заключить в круг радиуса R с центром в начале координат, причем R можно выбрать целым числом. Возьмем те из рассматриваемых фигур, координаты центров которых являются неотрицательными числами, не превосходящими 2n. Этих фигур ровно (n + 1)² штук и все они лежат внутри квадрата со стороной 2(n + R). Если бы они не пересекались, то при любом n выполнялось бы неравенство (n + 1)²S < 4(n + R)², где S — площадь данной фигуры. Но так как S > 4, то n можно выбрать так, чтобы выполнялось неравенство (n + R)/(n + 1) < .
Пусть теперь фигуры с центрами O₁ и O₂ имеют общую точку A (рис.). Докажем, что тогда середина M отрезка O₁O₂ принадлежит обеим фигурам (ясно, что точка M имеет целые координаты). Пусть = - . Так как данная фигура центрально симметрична, точка B принадлежит фигуре с центром O₁. Эта фигура выпукла, и точки A и B принадлежат ей, поэтому ей принадлежит также середина отрезка AB. Ясно, что середина отрезка AB совпадает с серединой отрезка O₁O₂.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	24
Название	Целочисленные решетки
Тема	Целочисленные решетки
параграф
Номер	4
Название	Вокруг теоремы Минковского
Тема	Теорема Минковского
задача
Номер	24.008