Задача 58271

Тема:    [ Покрытия ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Условие

Прожектор освещает угол величиной 90^o. Докажите, что в любых четырех заданных точках можно разместить 4 прожектора так, что они осветят всю плоскость.

Решение

Проведем прямую l так, что две данные точки лежат по одну сторону от нее и две — по другую. Пусть точки A и B лежат по одну сторону от l, C и D — по другую. Пусть A₁ и B₁ — проекции точек A и B на прямую l. Поставим в точке A прожектор так, чтобы он освещал угол, заданный лучом AA₁ и лучом, параллельным l и пересекающим прямую BB₁. Прожектор в точке B поставим аналогичным образом (рис., а). Эти два прожектора освещают полуплоскость, содержащую точки C и D. Аналогично в точках C и D ставим прожекторы, освещающие другую полуплоскость. (Если AB l, то прожекторы нужно направить так, как показано на рис., б.)

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	25
Название	Разрезания, разбиения, покрытия
Тема	Разрезания, разбиения, покрытия и замощения
параграф
Номер	8
Название	Покрытия
Тема	Покрытия
задача
Номер	25.049