Задача 58273

Тема:    [ Покрытия ]

Сложность: 6+ Классы: 8,9

Условие

Докажите, что любые n точек на плоскости всегда можно накрыть несколькими непересекающимися кругами так, что сумма их диаметров меньше n и расстояние между любыми двумя из них больше 1.

Решение

Построим круги с центрами в данных точках радиуса a = 1/2 + 1/2n. Ясно, что пересекающиеся круги радиусов R₁ и R₂ можно заключить в круг радиуса не более R₁ + R₂. Будем так делать до тех пор, пока не получатся непересекающиеся круги. Все данные точки расположены на расстоянии не меньше a от границ этих кругов, поэтому их радиусы можно уменьшить на b < a, и при этом они по-прежнему будут покрывать все данные точки. Если кругов k штук, то сумма их диаметров не больше n ^. 2a - k ^. 2b2na - 2b. Нам нужно, чтобы выполнялись следующие условия: 2na - 2b < n и 2b > 1. Они выполняются, если a = 1/2 + 1/2n и b = 1/2 + 1/4n.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	25
Название	Разрезания, разбиения, покрытия
Тема	Разрезания, разбиения, покрытия и замощения
параграф
Номер	8
Название	Покрытия
Тема	Покрытия
задача
Номер	25.051