Задача 58323

Темы:    [ Свойства инверсии ] [ Концентрические окружности ] [ Радикальная ось ]

Сложность: 7 Классы: 9,10,11

Условие

Докажите, что две непересекающиеся окружности S₁ и S₂ (или окружность и прямую) можно при помощи инверсии перевести в пару концентрических окружностей.

Решение

Возьмем из прямой, соединяющей центры O₁ и O₂ окружностей, точку C так, чтобы касательные, проведенные к окружностям из точки C, были равны. Эту точку C можно построить, проведя радикальную ось окружностей (см. задачу 3.53). Пусть l -- длина этих касательных. Окружность S радиуса l с центром в C перпендикулярна S₁ и S₂. Поэтому при инверсии с центром O, где O — любая из точек пересечения окружности S с прямой O₁O₂, S перейдет в прямую, перпендикулярную окружностям S₁^* и S₂^* и, следовательно, проходящую через их центры. Но прямая O₁O₂ тоже проходит через центры S₁^* и S₂^*, поэтому окружности S₁^* и S₂^* концентричны, т. е. O — центр искомой инверсии.
В случае, когда S₂ не окружность, а прямая, роль прямой O₁O₂ играет перпендикуляр, опущенный из точки O₁ на S₂, точка C будет точкой его пересечения с S₂, а l — длиной касательной, проведенной из C к S₁.
Замечание. Точка O является предельной точкой пучка окружностей, заданного окружностями S₁ и S₂.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	28
Название	Инверсия
Тема	Инверсия
параграф
Номер	1
Название	Свойства инверсии
Тема	Свойства инверсии
задача
Номер	28.006