Задача 58348

Темы:    [ Цепочки окружностей. Теорема Фейербаха ] [ Инверсия помогает решить задачу ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 7 Классы: 9,10,11 Название задачи: Теорема Фейербаха.

Условие

а) Докажите, что окружность, проходящая через середины сторон треугольника, касается его вписанной и трех вневписанных окружностей (Фейербах).
б) На сторонах AB и AC треугольника ABC взяты точки C₁ и B₁ так, что AC₁ = B₁C₁ и вписанная окружность S треугольника ABC является вневписанной окружностью треугольника AB₁C₁. Докажите, что вписанная окружность треугольника AB₁C₁ касается окружности, проходящей через середины сторон треугольника ABC.

Решение

а) Пусть A₁, B₁ и C₁ — середины сторон BC, CA и AB. Докажем, например, что описанная окружность треугольника A₁B₁C₁ касается вписанной окружности S и вневписанной окружности S_a, касающейся стороны BC. Пусть точки B' и C' симметричны B и C относительно биссектрисы угла A (т. е. B'C' — вторая общая внутренняя касательная к S и S_a), P и Q — точки касания окружностей S и S_a со стороной BC, D и E — точки пересечения прямых A₁B₁ и A₁C₁ с прямой B'C'. Согласно задаче 3.2 BQ = CP = p - c, а значит, A₁P = A₁Q = | b - c|/2. Достаточно доказать, что при инверсии с центром A₁ и степенью A₁P² точки B₁ и C₁ переходят в D и E (при этой инверсии окружности S и S_a переходят в себя, а описанная окружность треугольника A₁B₁C₁ переходит в прямую B'C').
Пусть K — середина отрезка CC'. Точка K лежит на прямой A₁B₁, причем A₁K = BC'/2 = | b - c|/2 = A₁P. Кроме того, A₁D : A₁K = BC' : BA = A₁K : A₁B₁, т. е. A₁D ^. A₁B₁ = A₁K² = A₁P². Аналогично A₁E ^. A₁C₁ = A₁P².
б) Окружность S', проходящая через середины сторон треугольника ABC, проходит еще и через основания высот (задача 5.106). Пусть H -- основание высоты, опущенной из вершины B, B₂ — середина стороны AC. Достаточно проверить, что инверсия с центром A и степенью AB₂ ^. AH = c cos A = prctgA переводит вневписанную окружность S_a во вписанную окружность треугольника AB₁C₁. Действительно, эта инверсия переводит окружность S' в себя, а согласно задаче а) окружности S' и S_a касаются.
Пусть X — середина отрезка AB₁. Тогда CX = r и AX = rctgA. Остается заметить, что длина касательной из точки A к окружности S_a равна p.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	28
Название	Инверсия
Тема	Инверсия
параграф
Номер	4
Название	Сделаем инверсию
Тема	Инверсия помогает решить задачу
задача
Номер	28.029