ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58365
Тема:    [ Аффинные преобразования и их свойства ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) Докажите, что существует единственное аффинное преобразование, которое переводит данную точку O в данную точку O', а данный базис векторов  e1, e2 — в данный базис  e1', e2'.
б) Даны два треугольника ABC и A1B1C1. Докажите, что существует единственное аффинное преобразование, переводящее точку A в A1, B — в B1, C — в C1.
в) Даны два параллелограмма. Докажите, что существует единственное аффинное преобразование, которое один из них переводит в другой.

Решение

а) Зададим отображение L следующим образом. Пусть X — произвольная точка. Поскольку  e1, e2 — базис, существуют однозначно определенные числа  x1 и  x2 такие, что $ \overrightarrow{OX}$ = x1e1 + x2e2. Поставим в соответствие точке X такую точку X' = L(X), что $ \overrightarrow{O'X'}$ = x1e1' + x2e2'. Так как e1', e2' — тоже базис, полученное отображение взаимно однозначно. (Обратное отображение строится аналогично.) Докажем, что любая прямая AB при отображении L переходит в прямую. Пусть A' = L(A), B' = L(B) и a1, a2, b1, b2 — координаты точек A и B в базисе  e1, e2, т. е. такие числа, что $ \overrightarrow{OA}$ = a1e1 + a2e2, $ \overrightarrow{OB}$ = b1e1 + b2e2. Рассмотрим произвольную точку C прямой AB. Тогда $ \overrightarrow{AC}$ = k$ \overrightarrow{AB}$ при некотором k, т. е. $ \overrightarrow{OC}$ = $ \overrightarrow{OA}$ + k($ \overrightarrow{OB}$ - $ \overrightarrow{OA}$) = ((1 - k)a1 + kb1)e1 + ((1 - k)a2 + kb2)e2. Следовательно, если C' = L(C), то $ \overrightarrow{O'C'}$ = ((1 - k)a1 + kb1)e1' + ((1 - k)a2 + kb2)e2' = $ \overrightarrow{O'A'}$ + k($ \overrightarrow{O'B'}$ - $ \overrightarrow{O'A'}$), т. е. точка C' лежит на прямой A'B'.
Единственность отображения L следует из результата задачи 29.4. В самом деле, L($ \overrightarrow{OX}$) = x1L(e1) + x2L(e2), т. е. образ точки X однозначно определяется образами векторов  e1, e2 и точки O.
б) Для доказательства можно воспользоваться предыдущей задачей, положив O = A, e1 = $ \overrightarrow{AB}$, e2 = $ \overrightarrow{AC}$, O' = A1, e1' = $ \overrightarrow{A_1B_1}$, e2' = $ \overrightarrow{A_1C_1}$.
в) Следует из задачи б) и из того. что параллельные прямые переходят в параллельные.


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 29
Название Аффинные преобразования
Тема Аффинная геометрия
параграф
Номер 1
Название Аффинные преобразования
Тема Аффинные преобразования и их свойства
задача
Номер 29.006

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .