ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58367
Тема:    [ Аффинные преобразования и их свойства ]
Сложность: 5
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если при аффинном (не тождественном) преобразовании L каждая точка некоторой прямой l переходит в себя, то все прямые вида ML(M), где в качестве M берутся произвольные точки, не лежащие на прямой l, параллельны друг другу.

Решение

Пусть M и N — произвольные точки, не лежащие на прямой l. Обозначим через M0 и N0 их проекции на прямую l, а через M' и N' — образы точек M и N при отображении L. Прямые M0M и N0N параллельны, так как они обе перпендикулярны l, т. е. существует такое число k, что $ \overrightarrow{M_0M}$ = k$ \overrightarrow{N_0N}$. Тогда согласно задаче 29.4, в) $ \overrightarrow{M_0M'}$ = k$ \overrightarrow{N_0N'}$. Поэтому образ треугольника M0MM' при параллельном переносе на вектор $ \overrightarrow{M_0N_0}$ гомотетичен с коэффициентом k треугольнику N0NN', следовательно, прямые MM' и NN' параллельны.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 29
Название Аффинные преобразования
Тема Аффинная геометрия
параграф
Номер 1
Название Аффинные преобразования
Тема Аффинные преобразования и их свойства
задача
Номер 29.007

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .