Условие
Докажите, что любое аффинное преобразование
можно представить в виде композиции двух растяжений
и аффинного преобразования, переводящего любой треугольник
в подобный ему треугольник.
Решение
Поскольку аффинное отображение однозначно определяется
образами вершин любого фиксированного треугольника (см. задачу
29.6, б)),
достаточно доказать, что из любого треугольника можно
при помощи двух растяжений получить треугольник, подобный
некоторому наперед заданному, например, равнобедренный прямоугольный.
Докажем это. Пусть
ABC — произвольный треугольник,
BN — биссектриса внешнего угла
B, прилежащего к стороне
BC.
Тогда при растяжении относительно
BN с коэффициентом
tg45
o/
tg
CBN из треугольника
ABC получается
треугольник
A'B'C' с прямым углом
B'. Из прямоугольного треугольника
при помощи растяжения относительно одного из его катетов всегда можно
получить равнобедренный прямоугольный треугольник.
Источники и прецеденты использования
