ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58372
Тема:    [ Аффинные преобразования и их свойства ]
Сложность: 6
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если M' и N' — образы многоугольников M и N при аффинном преобразовании, то отношение площадей M и N равно отношению площадей M' и N'.

Решение

Пусть a1 и a2 — какие-нибудь две перпендикулярные прямые. Поскольку аффинное преобразование сохраняет отношение длин параллельных отрезков, то длины всех отрезков, параллельных одной прямой, умножаются на один и тот же коэффициент. Обозначим через k1 и k2 эти коэффициенты для прямых a1 и a2. Пусть $ \varphi$ — угол между образами этих прямых. Докажем, что данное аффинное преобразование изменяет площади всех многоугольников в k раз, где k = k1k2sin$ \varphi$.
Для прямоугольника со сторонами, параллельными a1 и a2, а также для прямоугольного треугольника с катетами, параллельными a1 и a2, это утверждение очевидно. Любой другой треугольник можно получить, отрезав от прямоугольника со сторонами, параллельными a1 и a2, несколько прямоугольных треугольников с катетами, параллельными a1 и a2 (рис.), и, наконец, согласно задаче 22.22, любой многоугольник можно разрезать на треугольники.


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 29
Название Аффинные преобразования
Тема Аффинная геометрия
параграф
Номер 1
Название Аффинные преобразования
Тема Аффинные преобразования и их свойства
задача
Номер 29.011

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .