ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58373
Тема:    [ Аффинные преобразования и их свойства ]
Сложность: 6
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что любой выпуклый четырехугольник, кроме трапеции, аффинным преобразованием можно перевести в четырехугольник, у которого противоположные углы прямые.

Решение

Случаи трапеции и параллелограмма легко разбираются, поэтому будем предполагать, что у выпуклого четырехугольника ABCD нет параллельных сторон. Для определенности будем считать, что пересекаются лучи AB и DC, BC и AD. Пусть $ \overrightarrow{AB}$ = a, $ \overrightarrow{BC}$ = b, $ \overrightarrow{CD}$ = pa + qb, $ \overrightarrow{DA}$ = ua + vb. Тогда p < 0, q > 0, u < 0, v < 0.
Рассмотрим аффинное преобразование, которое переводит векторы a и b в ортогональные векторы a' и b', длины которых равны $ \lambda$ и $ \mu$. Нам нужно, чтобы обращалось в нуль скалярное произведение

(pa + qb, ua + vb) = pu$\displaystyle \lambda^{2}_{}$ + qv$\displaystyle \mu^{2}_{}$.

Поскольку pu > 0 и qv < 0, этого всегда можно добиться выбором чисел $ \lambda$ и $ \mu$.
Отметим, что при любом аффинном преобразовании образ угла при вершине C больше образа угла при вершине A; эти углы нельзя сделать равными.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 29
Название Аффинные преобразования
Тема Аффинная геометрия
параграф
Номер 1
Название Аффинные преобразования
Тема Аффинные преобразования и их свойства
задача
Номер 29.013B

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .