ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58375
Тема:    [ Аффинные преобразования и их свойства ]
Сложность: 6
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На плоскости даны три вектора a, b, c, причем $ \alpha$a + $ \beta$b + $ \gamma$c = 0. Докажите, что эти векторы аффинным преобразованием можно перевести в векторы равной длины тогда и только тогда, когда из отрезков с длинами |$ \alpha$|, |$ \beta$|, |$ \gamma$| можно составить треугольник.

Решение

Предположим, что существует аффинное преобразование, переводящее векторы a, b, c в векторы a', b', c' равной длины. Из равенства $ \alpha$a' + $ \beta$b' + $ \gamma$c' = 0 следует, что из отрезков длины |$ \alpha$|, |$ \beta$|, |$ \gamma$| можно составить треугольник.
Предположим теперь, что из отрезков длины |$ \alpha$|, |$ \beta$|, |$ \gamma$| можно составить треугольник. Тогда $ \alpha$a' + $ \beta$b' + $ \gamma$c' = 0 для некоторых векторов a', b', c' единичной длины. Рассмотрим аффинное преобразование, переводящее векторы a и b в a' и b'. Из равенств $ \alpha$a + $ \beta$b + $ \gamma$c = 0 и $ \alpha$a' + $ \beta$b' + $ \gamma$c' = 0 следует, что рассматриваемое аффинное преобразование переводит вектор c в c' (предполагается, что $ \gamma$$ \ne$ 0).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 29
Название Аффинные преобразования
Тема Аффинная геометрия
параграф
Номер 1
Название Аффинные преобразования
Тема Аффинные преобразования и их свойства
задача
Номер 29.013B2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .