ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58380
Тема:    [ Решение задач при помощи аффинных преобразований ]
Сложность: 3
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На сторонах AB, BC и CD параллелограмма ABCD взяты точки K, L и M соответственно, делящие эти стороны в одинаковых отношениях. Пусть b, c, d — прямые, проходящие через B, C, D параллельно прямым KL, KM, ML соответственно. Докажите, что прямые b, c, d проходят через одну точку.

Решение

Из задачи 29.6, б) следует, что любой параллелограмм аффинным преобразованием можно перевести в квадрат. Поскольку при этом сохраняются отношения длин параллельных отрезков (задача 29.5), достаточно доказать утверждение задачи в случае, когда ABCD — квадрат. Обозначим через P точку пересечения прямых b и d. Нам достаточно доказать, что PC| MK. Отрезок KL переходит в LM при повороте на 90o вокруг центра квадрата ABCD, поэтому прямые b и d, которые соответственно параллельны этим отрезкам, перпендикулярны; значит, P лежит на окружности, описанной вокруг ABCD. Тогда $ \angle$CPD = $ \angle$CBD = 45o, следовательно, угол между прямыми CP и b равен 45o, но угол между прямыми MK и KL тоже равен 45o, и b| KL, следовательно, CP| MK.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 29
Название Аффинные преобразования
Тема Аффинная геометрия
параграф
Номер 2
Название Решение задач при помощи аффинных преобразований
Тема Решение задач при помощи аффинных преобразований
задача
Номер 29.013

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .