Условие
На сторонах
AB,
BC и
CD параллелограмма
ABCD
взяты точки
K,
L и
M соответственно, делящие эти стороны
в одинаковых отношениях. Пусть
b,
c,
d — прямые,
проходящие через
B,
C,
D параллельно прямым
KL,
KM,
ML
соответственно. Докажите, что прямые
b,
c,
d проходят
через одну точку.
Решение
Из задачи
29.6, б) следует, что любой параллелограмм
аффинным преобразованием можно перевести в квадрат. Поскольку
при этом сохраняются отношения длин параллельных отрезков
(задача
29.5), достаточно доказать утверждение задачи в случае,
когда
ABCD — квадрат. Обозначим через
P точку пересечения
прямых
b и
d. Нам достаточно доказать, что
PC|
MK. Отрезок
KL переходит в
LM при повороте на
90
o вокруг центра
квадрата
ABCD, поэтому прямые
b и
d, которые соответственно
параллельны этим отрезкам, перпендикулярны; значит,
P лежит на
окружности, описанной вокруг
ABCD. Тогда
CPD =
CBD = 45
o, следовательно, угол между прямыми
CP и
b равен
45
o, но угол между прямыми
MK и
KL тоже равен
45
o,
и
b|
KL, следовательно,
CP|
MK.
Источники и прецеденты использования
