ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58383
Тема:    [ Решение задач при помощи аффинных преобразований ]
Сложность: 4
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В параллелограмме ABCD точки A1, B1, C1, D1 лежат соответственно на сторонах AB, BC, CD, DA. На сторонах A1B1, B1C1, C1D1, D1A1 четырехугольника A1B1C1D1 взяты соответственно точки A2, B2, C2, D2. Известно, что

$\displaystyle {\frac{AA_1}{BA_1}}$ = $\displaystyle {\frac{BB_1}{CB_1}}$ = $\displaystyle {\frac{CC_1}{DC_1}}$ = $\displaystyle {\frac{DD_1}{AD_1}}$ = $\displaystyle {\frac{A_1D_2}{D_1D_2}}$ = $\displaystyle {\frac{D_1C_2}{C_1C_2}}$ = $\displaystyle {\frac{C_1B_2}{B_1B_2}}$ = $\displaystyle {\frac{B_1A_2}{A_1A_2}}$.


Докажите, что A2B2C2D2 — параллелограмм со сторонами, параллельными сторонам ABCD.

Решение

Любой параллелограмм ABCD аффинным преобразованием можно перевести в квадрат (для этого нужно треугольник ABC перевести в равнобедренный прямоугольный треугольник). Поскольку в задаче идет речь только о параллельности прямых и об отношениях отрезков, лежащих на одной прямой, можно считать, что ABCD — квадрат. Рассмотрим поворот на 90o, переводящий ABCD в себя. При этом повороте четырехугольники A1B1C1D1 и  A2B2C2D2 тоже переходят в себя, следовательно, они тоже являются квадратами. При этом tgBA1B1 = BB1 : BA1 = A1D2 : A1A2 = tgA1A2D2, т. е. AB| A2D2 (рис.).


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 29
Название Аффинные преобразования
Тема Аффинная геометрия
параграф
Номер 2
Название Решение задач при помощи аффинных преобразований
Тема Решение задач при помощи аффинных преобразований
задача
Номер 29.016

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .