ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58384
Тема:    [ Решение задач при помощи аффинных преобразований ]
Сложность: 4
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC даны точки M, N и P соответственно. Докажите:
а) если точки M1, N1 и P1 симметричны точкам M, N и P относительно середин соответствующих сторон, то SMNP = SM1N1P1.
б) если M1, N1 и P1 — такие точки сторон AC, BA и CB, что MM1| BC, NN1| CA и  PP1| AB, то SMNP = SM1N1P1.

Решение

а) Поскольку любой треугольник аффинным преобразованием переводится в правильный и при этом середины сторон переходят в середины сторон, центрально симметричные точки — в центрально симметричные, а равновеликие треугольники — в равновеликие треугольники (задача 29.11), то будем считать, что треугольник ABC равносторонний со стороной a. Обозначим длины отрезков AM, BN, CP через p, q, r соответственно. Тогда

\begin{multline*}
S_{ABC}-S_{MNP}=S_{AMP}+S_{BMN}+
S_{CNP}=\\ =\sin 60^{\circ}(p(a-r)+q(a-p)+r(a-q))/2=\sin 60^{\circ}
(a(p+q+r)-(pq+qr+rp))/2.
\end{multline*}

Аналогично

\begin{multline*}
S_{ABC}-S_{M_1N_1P_1}= \\
=\sin 60^{\circ}(r(a-p)+p(a-q)+q(a-r))/2=\sin 60^{\circ}(a(p+q+r)-
(pq+qr+rp))/2.
\end{multline*}


б) Как и в предыдущей задаче, будем считать, что ABC — правильный треугольник. Пусть M2N2P2 — образ треугольника M1N1P1 при повороте вокруг центра треугольника ABC на 120o в направлении от A к B (рис.). Тогда AM2 = CM1 = BM. Аналогично, BN2 = CN и CP2 = AP, т. е. точки M2, N2, P2 симметричны точкам M, N, P относительно середин соответствующих сторон. Тем самым задача свелась к предыдущей.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 29
Название Аффинные преобразования
Тема Аффинная геометрия
параграф
Номер 2
Название Решение задач при помощи аффинных преобразований
Тема Решение задач при помощи аффинных преобразований
задача
Номер 29.017

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .