ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58425
Тема:    [ Проективные преобразования плоскости ]
Сложность: 7
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На плоскости дана окружность и не пересекающая ее прямая. Докажите, что существует проективное преобразование, переводящее данную окружность в окружность, а данную прямую — в бесконечно удаленную прямую.

Решение

Рассмотрим на координатной плоскости Oxz точки O(0, 0), N(0, 1), E(1, 0). Для произвольной точки M, лежащей на дуге NE единичной окружности, обозначим через P пересечение отрезка EM с прямой z = 1. Ясно, что двигая точку M по дуге NE, мы можем сделать отношение EM : MP равным произвольному числу. Поэтому преобразованием подобия данную окружность S можно перевести в окружность S1, построенную на отрезке EM как на диаметре в плоскости $ \alpha$, перпендикулярной Oxz, так, чтобы данная прямая l перешла в прямую, проходящую через P перпендикулярно Oxz. Окружность S1 лежит на единичной сфере с центром в начале координат, следовательно, при стереографической проекции она проецируется в окружность S2 на плоскости Oxy. Таким образом, при центральном проектировании плоскости $ \alpha$ на плоскость Oxy из N окружность S1 перейдет в S2, а прямая l — в бесконечно удаленную.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 30
Название Проективные преобразования
Тема Проективная геометрия
параграф
Номер 2
Название Проективные преобразования плоскости
Тема Проективные преобразования плоскости
задача
Номер 30.017

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .