ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58438
Тема:    [ Переведем данную прямую на бесконечность ]
Сложность: 6
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Даны два треугольника ABC и A1B1C1. Известно, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке O, прямые AA1, BC1 и CB1 пересекаются в одной точке O1 и прямые AC1, BB1 и CA1 пересекаются в одной точке O2. Докажите, что прямые AB1, BA1 и CC1 тоже пересекаются в одной точке O3 (теорема о трижды перспективных треугольниках).

Решение

Рассмотрим проективное преобразование с исключительной прямой O1O2 и обозначим через A', B',... образы точек A, B,... Тогда A'C1'| C'A1'| B'B1', B'C1'| C'B1'| A'A1'. Будем для определенности считать, что точка C лежит внутри угла A'O'B' (остальные случаи переобозначением сводятся к этому). Сделав еще, если необходимо, аффинное преобразование, мы можем считать, что параллелограмм O'A'C1'B' является квадратом, а значит, O'A1'C'B1' — тоже квадрат, причем диагонали O'C1' и O'C' этих квадратов лежат на одной прямой. Остается воспользоваться симметрией относительно этой прямой.


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 30
Название Проективные преобразования
Тема Проективная геометрия
параграф
Номер 3
Название Переведем данную прямую на бесконечность
Тема Переведем данную прямую на бесконечность
задача
Номер 30.030

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .